← All posts tagged math

dukkha
math Interactive map of all scientific papers from the arXiv: paperscape.org

Each paper in the map is represented by a circle, with the area of the circle proportional to the number of citations that paper has. In laying out the map, an N-body algorithm is run to determine positions based on references between the papers. There are two “forces” involved in the N-body calculation: each paper is repelled from all other papers using an anti-gravity inverse-distance force, and each paper is attracted to all of its references using a spring modelled by Hooke’s law. We further demand that there is no overlap of the papers.
dukkha
CS math Одно из определений класса NP из книги "Классические и квантовые вычисления" (А. Китаев, А. Шень, М. Вялый):

Имеются два персонажа: король Arthur (Артур), умственные способности которого полиномиально ограничены, и волшебник Merlin (Мерлин), который интеллектуально всемогущ и знает правильные ответы на все вопросы. Король A интересуется некоторым свойством (например, "есть ли у графа гамильтонов цикл"), а волшебник M хочет, чтобы король признал наличие этого свойства (ну, скажем, граф стремится к званию гамильтонова и дал M взятку). A не доверяет своему волшебнику, зная его корыстолюбие, и хочет иметь возможность самостоятельно проверить предложенный M ответ.
Поэтому они действуют следующим образом. A и M оба смотрят на слово x, после чего M сообщает некоторую информацию (слово y), которая должна убедить A, что L(x)=1. Используя эту информацию, A проверяет убедительность аргументов M некоторым полиномиальным способом.
В этих терминах определение класса NP можно сформулировать так: свойство L принадлежит классу NP, если у Артура есть полиномиальный способ проверять убедительность доводов Мерлина, причем:
L(x)=1 => у M есть способ убедить A в этом;
L(x)=0 => как бы M ни изощрялся, A не поверит, что L(x)=1.
dukkha
дневник образование math За последние полтора года я несколько раз пробовал объединиться с кем-нибудь, чтобы вместе учить математику.

Пытался с @jtootf и @Kallikanzarid (историю можно почитать здесь: #1715223 #1723275 #1754289). Тут всё умерло, не успев начаться.

Потом случайно в образовательном мегатреде у Миши познакомился с @xio. Сам тред вот, если кому-то интересно (мы оба анонимы): lj.rossia.org

С @xio мы прошли "Теорему Абеля в задачах и решениях", о чем оставлены короткие логи на psto и в вике: psto.net math.ungrund.org

Для меня решение "Теоремы Абеля" до сих пор остается единственным успешным примером учебного сотрудничества с кем-либо.

Потом я обрадовался и мы позвали всех учить Львовского: #1955822
Дальше всё сумбурно. Львовского было решено заменить топологией Виро, @xio запилил конфочку math@conference.ungrund.org (на которой в какой-то момент даже были настоящие тяны!), я начал параллельно решать с @Akemi "Коммутативную алгебру" Атьи-Макдональда.

В АМ я застрял на задачах первой главы, опыт с Виро тоже нельзя назвать успешным (сам учебник очень хороший). Логи всех событий бережно хранятся здесь: math.ungrund.org

Иногда случаются попытки кооперации ИРЛ. С одним знакомым мы собирались раз в неделю в кафе и учили криптографию (а по факту — теорию групп). Длилось это несколько месяцев, но странным образом продвинулись мы не слишком далеко (но про вращения куба, фактор-группы и малую теорему Ферма я рассказал). С другим пытались учить топологию (вернее, планировалось так, что он мне рассказывает-показывает гитару, а я ему — топологию), здесь нас хватило на два-три мероприятия. Еще одного знакомого я регулярно агитирую решать разнообразные учебники, он каждый раз прилежно решает несколько первых параграфов и забивает.

Этой осенью я наконец-то познакомился в реальном мире с чуваком, которому интересна математика (до того такие знакомые были только в интернетах), и он сейчас очень успешно проходит тех же Виро и "Теорему Абеля", но происходит это скорее без меня, потому что, хотя мы и встречаемся раз в неделю и обсуждаем, всё остальное время я сам не решаю ни Виро, ни "Теорему Абеля", потому что материал дико знакомый (к "Теореме Абеля" я за свою жизнь основательно приступал раз пять, похожая ситуация с Виро).

Ближе к концу года мы хотели с @xio начать "Начала теории множеств" Шеня. В итоге получилось так, что он большую часть материала прорешал, а я застрял на первых задачах и прочитал книгу по диагонали. Кроме того, к этому времени я совсем испортился и почти перестал взаимодействовать с внешним миром, а @xio оставил некоторые решения и заметки: math.ungrund.org
Я одновременно учился оформлять задачи в TeX'e, хотел оформить все, но хватило меня только на первую главу: #2227715

Кажется, всё? Еще время от времени я обещаю @Akemi начать читать то, что он читает (Eisenbud, листочки katia, etc.), но так никогда и не приступаю.

В начале 2013 года @Akemi привел интересного человека @kuroineko. С ним у меня тоже было много разговоров о том, что мы что-то начнем, но так ничего и не начали (разве что Borceux немного почитали).

Теперь всё. Здесь наверное стоит резюмировать, но я не буду делать никаких выводов. Я еще вот что напишу: математика и совместное обучение — самая важная и единственная содержательная часть моей жизни, больше у меня ничего нет.
dukkha
math Роман Михайлов рассказывает, как крался по Стекловке в образе ниндзя:
lektorium.tv
(слушать начиная с 10:10)
Также о субкультурах в математике: "Правильно то, что вас качает."
dukkha
math Короткий элементарный курс лекций с последней летней школы "Современная математика" о том, к чему приводят попытки назвать самое большое число: mathnet.ru
(справа можно ознакомиться со слайдами)

Например, рассказывают про нотацию Кнута:

Умножение — это выполненное несколько раз сложение.
А возведение в степень — выполненное несколько раз умножение.
Аналогично можно определить операцию "выполненное несколько раз возведение в степень", эта операция называется тетрация: en.wikipedia.org
Затем можно определить операцию "выполненная несколько раз тетрация", и так далее. Таким образом можно получать очень большие числа.
dukkha
math В кольце непрерывных функций на отрезке существует простой идеал, который не является максимальным: это наибольший идеал, не пересекающий множество ненулевых полиномов.

Доказательство, что идеал прост
Возьмем пару элементов вне идеала, произведение которых — в идеале. Сумма каждого из этих элементов с идеалом даст хотя бы по одному полиному. Произведение этих двух полиномов лежит в идеале.

Доказательство, что идеал не максимален
Если бы он был максимален, он бы соответствовал некоторой точке на отрезке, то есть содержал бы полиномы, которые зануляются в этой точке.
dukkha
цитата math Это нормально когда после первого чтения усваивается лишь часть материала. На самом деле, чтобы понять всё, надо сделать несколько итераций с перерывом в полгода. При этом, каждая последующая итерация занимает гораздо меньше времени чем предыдущая.

Например, когда я первый раз читал Кострикина-Манина, то осилил примерно 40% материала и потратил на это несколько недель. При втором заходе, я понял книгу примерно на 60% и на перечитывание у меня ушло около недели. Последний раз, когда я читал эту книгу (где-то четвертый заход) я понял практически всё и потратил чуть более дня.
dukkha
math 1
"Я вот несколько лет учился математике (потому что все говорили, что надо, вот, программу Вашу осваивал), но не занимался ей, и это печальный опыт. Одно дело понимать какие-то учебники и статьи, другое — придумывать самому. И вообще плохо понятно как одно с другим связано."
2
"Вы можете жонглировать терминами, «разбираться» во всех областях, ходить на все семинары и поддерживать все разговоры. Эрудитов очень много. Это то, от чего надо держаться подальше. Это то, что противоречит глубине. Попробуйте лучше решить для начала задачу, к которой есть настоящая тяга, и которую не могут решить другие. Эта задача раскроет вам миры, покажет, что изучать, а что игнорировать."
3
"Впоследствии мне случалось среди математиков, принявших меня в свой клан, встречать как старших, так и ровесников, заметно более блестящих, более одаренных, чем я. Меня восхищала легкость, с которой они, словно бы играя, овладевали новыми понятиями, жонглируя ими, как будто привычными с колыбели — тогда как я себя чувствовал неповоротливым увальнем, с трудом, как крот, пробивавшим себе дорогу сквозь бесформенную груду вещей, которые (как меня убедили) мне было важно знать, и разобраться в которых от начала до конца я не ощущал в себе сил. Я, в самом деле, никогда не был блестящим студентом, легко побеждающим на престижных состязаниях, в полщелчка усваивающим неприступные программы.
Большинство моих самых блестящих товарищей стали, впрочем, компетентными и известными математиками. И все же теперь, по прошествии тридцати или тридцати пяти лет, я вижу, что они не оставили в современной математике по-настоящему глубоких следов. Им удавались вещи, иногда красивые, в рамках уже законченного контекста; они и помыслить не смели о том, чтоб затронуть самые границы. Они, не подозревая о том, остались узниками кругов невидимых и властных, установленных, как границы для Вселенной, в данную эпоху и в данной среде. Чтобы переступить их, они должны были бы обрести вновь способность, дарованную каждому из них, точь-в-точь как и мне, при рождении — способность быть одному."
4
"Читая чужие стихи и не желая писать свои они изнашивают Оазис, не продлевая ему жизнь, изнашивают песнопения, которые им достались. Они сами привязали себя к кормушке в хлеву и сделались домашней скотиной. Они приготовили себя к рабству."
dukkha
math А какие есть места в интернете, про которые полезно знать всем, кто интересуется математикой? Хотелось бы иметь эссеншиалс ссылок, чтобы кормить всех новообращенных.
Скажем, обязательно нужно знать, что есть mathoverflow.net и в частности mathoverflow.net
This week finds: math.ucr.edu
planetmath.org
Понятно, что хороших неспециализированных блогов много, но наверное, стоит выделить terrytao.wordpress.com и rjlipton.wordpress.com
В рунете наверное интересен прежде всего сайт НМУ ium.mccme.ru, lj.rossia.org ("программа вербицкого"), heller.ru