← All posts tagged math

Strephil

Друг вчера спросил, могу ли я привести пример подпрямо неразложимой (subdirectly irreducible) абелевой группы.
Я всё забыл. Задумался. Есть теорема, что алгебра подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда есть наименьшая (по включению) нетривиальная конгруэнция. (В одну сторону доказывается легко, если такой конгруэнции нет, то алгебра оказывается подпрямым произведением фактор-алгебр по своим конгруэнциям).

Вот Z₄ по сложению. Какие есть конгруэнции? Например, в один класс помещаем {0,2}, в другой — {1,3}. Похоже, что меньше конгруэнций нет. Значит, эта группа подпрямо неразложима?

А вот группа Z₂ × Z₂. Она, очевидно, разложима, ведь она вообще прямо произведение! Но какие там конгруэнции, я вообще не соображу.

Strephil

Уважаемые коллеги!
Приглашаем Вас принять участие в 5-й международной научно-технической конференции
«СОВРЕМЕННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ И НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ» (СИТОНИ-2017). которая состоится 20 ноября 2017г. на базе кафедры прикладной математики факультета компьютерных наук и технологий Донецкого национального технического университета, г. Донецк, Донецкая Народная Республика.
pm.conf.donntu.org

Я еду!

Strephil

Тождество Эйлера $e^{i\pi} + 1 = 0$ связывает все математические операции (сложение, умножение, возведение в степень) и все математические константы (1,0,e,i, π).

Одно из следствий этого тождества — ненужность кватернионов (кватернионы в этом тождестве не участвуют, следовательно, не нужны), второе следствие — ненужность всевозможных гиперстепеней.

Strephil

Например, необычно выглядит способ построения минимальной поверхности с помощью случайных блужданий. Он устроен следующим образом. На первом этапе спроецируем каркас на лист бумаги в клеточку (посмотрим на его тень). Пусть линии на листе бумаги — улицы города, тень каркаса – его граница. Поместим в узел клетки пьяницу — объект, который случайным образом будет поворачивать на каждом перекрестке. Когда пьяница пересекает границу города, он падает в канаву и его штрафует полицейский. Сумма штрафа зависит от высоты точки каркаса, отбрасывающей тень на конкретную «канаву».
Оказывается, средняя величина штрафа для каждой отправной точки пьяницы численно равна высоте минимальной поверхности, натянутой на данный каркас. Этот метод относится к классу методов Монте-Карло.
nplus1.ru

Strephil

В язык Go предложили включить кватернионы. Очевидно, такое могли предложить только на 1 апреля: всякому ясно, что кватернионы не нужны.

Но можно ли как-то формально доказать их ненужность? Комплексные числа очень нужны, а кватернионы — не нужны совсем. Почему ненужность возникает именно между комплексными и кватернионами, а не в другом месте? (Например, между действительными и комплексными или кватернионами и октанионами).

Нарушается коммутативность? Да ладно, умножение матриц тоже не коммутативно.

На кватернионы можно перенести все классические результаты комплексного анализа, а никаких новых результатов нет. Но это лишь показывает, а не доказывает их ненужность.

Strephil

Большинство интегралов не берётся.
Если твоё решение свобдится к вычислению интеграла от какой-то функции, значит, скорее всего, ответа ты таким способом не получишь.

Strephil

Я тут пытаюсь разобраться с дискретным преобразованием Фурье, одномерным и двумерным.
Одномерный случай это музыка. Двумерный картинка с котиком.
Если вычислить преобразование от музыки, то нужно смотреть частоты, будут видны все ноты.
А с котиком не так, частоты ничего не покажут, котик будет виден в фазах.

То есть, для дискретного преобразования Фурье время однородно, но пространство не изотропно, так?
В том смысле, что человек его так воспринимает.
Надо бы картинку прикрепить, но сейчас уже лень что-то рисовать :-(

Strephil

Я никак не пойму, когда, чтобы матрицы перемножились и не вылетала ошибка, надо транспонировать, а когда — переставлять местами.
Чтобы правильно перемножить две матрицы, мне приходится перебирать из 8 вариантов.
Я у мамы дурачок :-(

Strephil

Забаво, если полный граф является полугуппой левых нулей, то несвязный граф является полугруппой нулей правых.
Очевидно, что никакое их подпрямое произведение графом не является, так?

Это означает, что есть хотя бы такой пример двух графов, никакое подпрямое произведение которых не граф. На пустой граф нужно умножать.
А есть ли нетривиальный случай, я пока не знаю.

Strephil

Рассмотрим полный граф K3. И пусть граф задаётся операцией над множеством вершин: ab = a, если вершины a и b соединены ребром и ab = b; если нет.
Этот граф будет подпрямо разложимым, потому что есть 3 нетривиальные конгруэнции, мы можем поместить в один класс вершины ab, ac, bc. Ни одна из них не будет больше другой.
Получается, что K3 является подпрямым произведением трёх графов K2 (которые являются его фактор-графами).

Интересно, что наименьший (по числу вершин) подпрямо разложимый граф имеет именно 3, 3 а не 2, нетривиальные конгруэнции. Это, наверняка, важное свойство числа 3. Такая вот тернарность.

В то же время, вовсе не обязательно подпрямо перемножать именно три графа K2, чтобы получить какой-то граф. Ведь уже прямое произведение двух графов K2 является графом K4 (отметим, кстати, что полный граф соответствует полугруппе левых нулей). А если из прямого произведения выкинуть один элемент, получится граф K3.

Strephil

Известно, как переписать граф в виде множества с операцией.
Например, ab = a, если вершины a и b соединены вершиной, ab = b, если нет.
Не очень понятно, как ввести прямое произведение графов.
(a,b)×(c,d) = ?
например, если ac = a, bc = d, то получается (a,d). Прямое произведение не даёт граф. Зачем оно тогда?..
А что же тогда с подрямыми произведениями?
Если подходить формально, я нарисовал граф
*
/ \

\ /
*
/ \

\ /
*
Очевидно, в этом графе нет наименьшей нетривиальной конгруэнции. Следовательно, этот граф можно представить в виде подпрямого произведения двух графов, а именно подпрямым произведением фактор-графов по этим конгруэнциям. Фактор-графы являются графами, то есть, есть случай, когда подпрямое произведение двух графов, является графом, в данном случае:
граф A =
*
|
*
/ \

\ /
*
и граф B =
*
/ \

\ /
*
|
*
в своём подпрямом произведении дают исходный граф.

Вопрос:
но как же определить этот подпрямое произведение графов, когда я даже не уверен, что можно дать хорошее определение прямому произведению?

Strephil

Рассмотрим выражение: «Наименьшее натуральное число, которое нельзя описать менее чем одиннадцатью словами»
Поскольку слов конечное число, существует конечное множество фраз из менее чем одиннадцати слов, и, следовательно, конечное подмножество натуральных чисел, определяемых фразой из одиннадцати слов. Однако множество натуральных чисел бесконечно, следовательно, существуют числа, которые нельзя определить фразой из менее чем одиннадцати слов. Среди них, очевидно, существует наименьшее натуральное число (наименьшее число можно выбрать из любого подмножества натуральных чисел), «не описываемое менее чем одиннадцатью словами». Но именно это число определяется приведённой выше фразой и в ней менее одиннадцати слов, а значит, не может являться искомым наименьшим числом и не может описываться данной фразой. Возникает парадокс: должно существовать число, описываемое данной фразой, но поскольку выражение само себе противоречит, не может существовать числа, им описываемого.