← All posts tagged алгебра

Strephil
math алгебра Может ли коммутативная полугруппа идемпотентов быть группой?
Мне кажется, что нет, но нормальных доводов придумать не могу.
А какие вообще коммутативные группы бывают, разве их так ужь много?

Хотя (пусть это полугруппа по сложению): {0, a, -a}.
a + a = a
-a + — a = -a
a + — a = 0

a + a + — a = (a + a) + — a = a + -a = 0.
a + a + -a = a + (a + — a) = a + 0 = a.

В общем, хуйня это, а не группа. Я был прав. Ну и приведённое доказательство от размера полугруппы не зависит, просто мы рассмотрели элемент и противоположный ему.
Strephil
math алгебра Друг вчера спросил, могу ли я привести пример подпрямо неразложимой (subdirectly irreducible) абелевой группы.
Я всё забыл. Задумался. Есть теорема, что алгебра подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда есть наименьшая (по включению) нетривиальная конгруэнция. (В одну сторону доказывается легко, если такой конгруэнции нет, то алгебра оказывается подпрямым произведением фактор-алгебр по своим конгруэнциям).

Вот Z₄ по сложению. Какие есть конгруэнции? Например, в один класс помещаем {0,2}, в другой — {1,3}. Похоже, что меньше конгруэнций нет. Значит, эта группа подпрямо неразложима?

А вот группа Z₂ × Z₂. Она, очевидно, разложима, ведь она вообще прямо произведение! Но какие там конгруэнции, я вообще не соображу.
Strephil
сны алгебра Приснилось, что я прихожу на семинар по общей алгебре, первый в семестре. Народу столько, что мне некуда сесть, всё занято. Я думаю:
— Зачем вы сюда все пришли! Это же алгебра! Ну ничего, не следующем семинаре будет половина, не больше.
Strephil
алгебра Осознал, что у меня совершенно искажённые представления о конечных полях, помню что-то, что в них p^n элементов и какие-то неприводимые многочлены, а как они там устроены — всё совсем не так, как я думаю.
эх :-(
Strephil
math Nachtmahr алгебра Забаво, если полный граф является полугуппой левых нулей, то несвязный граф является полугруппой нулей правых.
Очевидно, что никакое их подпрямое произведение графом не является, так?

Это означает, что есть хотя бы такой пример двух графов, никакое подпрямое произведение которых не граф. На пустой граф нужно умножать.
А есть ли нетривиальный случай, я пока не знаю.
Strephil
бред math Nachtmahr алгебра Рассмотрим полный граф K3. И пусть граф задаётся операцией над множеством вершин: ab = a, если вершины a и b соединены ребром и ab = b; если нет.
Этот граф будет подпрямо разложимым, потому что есть 3 нетривиальные конгруэнции, мы можем поместить в один класс вершины ab, ac, bc. Ни одна из них не будет больше другой.
Получается, что K3 является подпрямым произведением трёх графов K2 (которые являются его фактор-графами).

Интересно, что наименьший (по числу вершин) подпрямо разложимый граф имеет именно 3, 3 а не 2, нетривиальные конгруэнции. Это, наверняка, важное свойство числа 3. Такая вот тернарность.

В то же время, вовсе не обязательно подпрямо перемножать именно три графа K2, чтобы получить какой-то граф. Ведь уже прямое произведение двух графов K2 является графом K4 (отметим, кстати, что полный граф соответствует полугруппе левых нулей). А если из прямого произведения выкинуть один элемент, получится граф K3.
Strephil
математика math алгебра Известно, как переписать граф в виде множества с операцией.
Например, ab = a, если вершины a и b соединены вершиной, ab = b, если нет.
Не очень понятно, как ввести прямое произведение графов.
(a,b)×(c,d) = ?
например, если ac = a, bc = d, то получается (a,d). Прямое произведение не даёт граф. Зачем оно тогда?..
А что же тогда с подрямыми произведениями?
Если подходить формально, я нарисовал граф
*
/ \

\ /
*
/ \

\ /
*
Очевидно, в этом графе нет наименьшей нетривиальной конгруэнции. Следовательно, этот граф можно представить в виде подпрямого произведения двух графов, а именно подпрямым произведением фактор-графов по этим конгруэнциям. Фактор-графы являются графами, то есть, есть случай, когда подпрямое произведение двух графов, является графом, в данном случае:
граф A =
*
|
*
/ \

\ /
*
и граф B =
*
/ \

\ /
*
|
*
в своём подпрямом произведении дают исходный граф.

Вопрос:
но как же определить этот подпрямое произведение графов, когда я даже не уверен, что можно дать хорошее определение прямому произведению?
Strephil
наука Ленин math регилия Я ненавижу математику. Математика — это вообще не наука. Особенно же я
ненавижу алгебру. Нет ничего более бессмысленного, чем складывать буквы
между собой. Что дала миру математика? Смерть, разрушение — никакой
жизни. Что дала миру религия? Представление о добре и зле. Философия —
вот настоящая наука! Потому что где нет личности, там нет Бога. России
сейчас не хватает духовности. Не просто так студенты идут на кафедру программирования — они
действительно не хотят учиться, им образование просто не нужно. От жизни
им прежде всего нужна человечность, а в науке, и тем более в инженерном
дело, никакой человечности нет: одна только смерть, разрушения, да
лагеря и казармы. Чем сильнее мы абстрагируемся от личности, тем дальше
мы удаляемся от Бога. Математика — это наука лдя мёртвых, только
мертвечина полностью отделена от жизни... Жизни же свойственна свобода.
Наука всегда стремится ограничить свободу и подчинить всё искусственным
законам. Ведь ни одна наука ещё не смогла описать природу корректно!
Везде есть какие-то недостатки, необходимость уточнения.

Наука ведь даже живую материю всё равно рассматривает как неживую. Все
эти биологические клетки, весь этот дарвинизм, везде мерзкие цифры...
Всё предствлять в виде системы — так можно поступать только с неживой
природой. Живая материя никогда не будет подчиняться законам, какие бы
точные формулировки ни были им даны. У любой материи живой есть душа — а
её не учитывает ни одна современная наука. Вот почему все науки
несостоятельны. Наука описывает лишь процесс разрушения, и как этому
процессу противостоять. Как мёртвых сделать, чтобы они не разлагались
(ЛЕНИН!) Процесс же созидания способна описать только религия.
Strephil
флуд В няшину статью просочились какие-то «граппоиды».
А я еще год назад про это стишок сочинил #1398813
Вот так поэзия идёт впереди, а алгебра только позади.
Strephil
календарь math Канун дня всех святых, и математики и прочие чёрные маги собираются на шабаш в канун дня всех святых. Алгебраический семинар состоится на вершине Воробьевой горы сразу после захода солнца.
Strephil
ДР Slackware преферанс алгебра Обыкновенный преферанс по случаю няшкиного 25-летия постепенно перетек в патрикоугодную оргию (фотки будут завтра), закончилось же это утверждением:
ο — это ρ с нулевой хвостой (это следует из теории полугрупп).
Strephil
ПГМ алгебра Полугруппа называется православне (orthodox), если множество всѣхъ ея идемпотентовъ является подполугруппой.
…странно, что раньше не сталкивался съ такимъ опредѣленiемъ.
Strephil
стихи грибы цвѣты Цвѣты: седмичники, дремки, купальницы; скоро зацвѣтутъ ландыше и гравилате.
Грибы: строчки, лѣтнiе опята.
Стихи: про алгебраическаго узника и голубоглазую змѣю. Вотъ:

I
Какъ шаръ земной къ моей ногѣ
Приковано ядро гомоморфизма.
Ищу отвѣта — нѣтъ его.
Мететъ метель, хоть не зима.

II
Конгруэнцiи рѣшеткой на окнѣ.
День короче, ночь въ тюрьмѣ темнѣе.
Я изъ леммъ, какъ изъ цвѣтовъ, плету венокъ,
Онъ понравится возлюбленной змѣе.