← All posts tagged алгебра

Приснилось, что я прихожу на семинар по общей алгебре, первый в семестре. Народу столько, что мне некуда сесть, всё занято. Я думаю:
— Зачем вы сюда все пришли! Это же алгебра! Ну ничего, не следующем семинаре будет половина, не больше.

Осознал, что у меня совершенно искажённые представления о конечных полях, помню что-то, что в них p^n элементов и какие-то неприводимые многочлены, а как они там устроены — всё совсем не так, как я думаю.
эх :-(

Забаво, если полный граф является полугуппой левых нулей, то несвязный граф является полугруппой нулей правых.
Очевидно, что никакое их подпрямое произведение графом не является, так?

Это означает, что есть хотя бы такой пример двух графов, никакое подпрямое произведение которых не граф. На пустой граф нужно умножать.
А есть ли нетривиальный случай, я пока не знаю.

Рассмотрим полный граф K3. И пусть граф задаётся операцией над множеством вершин: ab = a, если вершины a и b соединены ребром и ab = b; если нет.
Этот граф будет подпрямо разложимым, потому что есть 3 нетривиальные конгруэнции, мы можем поместить в один класс вершины ab, ac, bc. Ни одна из них не будет больше другой.
Получается, что K3 является подпрямым произведением трёх графов K2 (которые являются его фактор-графами).

Интересно, что наименьший (по числу вершин) подпрямо разложимый граф имеет именно 3, 3 а не 2, нетривиальные конгруэнции. Это, наверняка, важное свойство числа 3. Такая вот тернарность.

В то же время, вовсе не обязательно подпрямо перемножать именно три графа K2, чтобы получить какой-то граф. Ведь уже прямое произведение двух графов K2 является графом K4 (отметим, кстати, что полный граф соответствует полугруппе левых нулей). А если из прямого произведения выкинуть один элемент, получится граф K3.

Известно, как переписать граф в виде множества с операцией.
Например, ab = a, если вершины a и b соединены вершиной, ab = b, если нет.
Не очень понятно, как ввести прямое произведение графов.
(a,b)×(c,d) = ?
например, если ac = a, bc = d, то получается (a,d). Прямое произведение не даёт граф. Зачем оно тогда?..
А что же тогда с подрямыми произведениями?
Если подходить формально, я нарисовал граф
*
/ \

\ /
*
/ \

\ /
*
Очевидно, в этом графе нет наименьшей нетривиальной конгруэнции. Следовательно, этот граф можно представить в виде подпрямого произведения двух графов, а именно подпрямым произведением фактор-графов по этим конгруэнциям. Фактор-графы являются графами, то есть, есть случай, когда подпрямое произведение двух графов, является графом, в данном случае:
граф A =
*
|
*
/ \

\ /
*
и граф B =
*
/ \

\ /
*
|
*
в своём подпрямом произведении дают исходный граф.

Вопрос:
но как же определить этот подпрямое произведение графов, когда я даже не уверен, что можно дать хорошее определение прямому произведению?

Полугруппа называется православне (orthodox), если множество всѣхъ ея идемпотентовъ является подполугруппой.
…странно, что раньше не сталкивался съ такимъ опредѣленiемъ.