• work math Положим P — вероятность того, что в определённый момент времени происходит некоторое событие (например, горит лампа). Какова вероятность того, что при наблюдении в течение времени t лампа будет замечена во включённом состоянии хотя бы один раз?

    Сегодня 2,5 человека с высшим техническим образованием порядка часа не могли сообразить, как это рассчитать, и какие могут быть нужны дополнительные данные, если нужны. Может жуйкомозг подскажет?
    ♡ recommended by @juick

Replies (50)

  • @Self-Perfection, ты путаешь дискретные и непрерывные распределения
  • @Self-Perfection, ибо в непрерывном случае " вероятность того, что в определённый момент времени происходит некоторое событие" = 0
  • @Self-Perfection, это задача на дискретную вероятность? Типы мы проверяем и лампа либо включена, либо нет и вероятность Р — вероятность застать включенной? Или это реально "в конкретный момент времени" и величина дифференциальная?)
  • @lurker, Ой ли? Допустим известно, что в среднем лампа горит 1/6 времени. Вероятность, что она включена сейчас (момент) — 1/6. Этих данных достаточно, чтобы рассчитать, какова вероятность наткнуться на горящую лампу в течение часа? Или что ещё нужно?
  • @Self-Perfection, у вас там есть человек, закончивший аспирантуру мехмата и магистратуру вмк и никто не сказал, что вопрос сформулирован не корректно и не имеет ответа? стыдно за мгу.
  • @Self-Perfection, "предположим, что лампа горит 1/6 часть времени. " А сколько всего этих частей?
  • @mrtron, два разных человека.
  • @oxpa, Не понимаю вопрос. Лампу включают и выключают так, чтобы чтобы скажем в сумме за месяц она горела 5 суток. Может часто щёлкают тумблером, может редко, это не дано. Мне кажется, частота щёлканий тумблером не играет роли при ответе на поставленный вопрос.
  • @mrtron, Обоснуйте. Не вижу некорректности.
  • @Self-Perfection, проблема в том, что вероятность может быть либо дискретной, либо интегральной. Последняя характеризуется скорее плотностью, нежели собственно вероятностью.
    В какой момент лампу включают? Сколько всего таких моментов? Какова вероятность того, что ты сделаешь замер точно в момент включения?
  • @oxpa, или распределением... я не то чтобы особо специалист
  • @oxpa, вероятность сделать замер ровно в момент включения — 0.
  • @Self-Perfection, вот... а теперь читаем твоё условие:
    "P — вероятность того, что в определённый момент времени происходит некоторое событие", Р — нулевое значение?
  • @Self-Perfection, твоё условие можно переделать, если сказать, что Р — вероятность застать лампу включённой при проверке. Это убирает "дифференциальность" из условия. У нас есть дискретные проверки и дискретная вероятность. Эта задача чутка проще
  • @oxpa, ок, сформулированно некорректно, потому что термин "событие" тут не подходит. Система может быть в двух состояниях, P — вероятность застать её в определённом состоянии.
  • @Self-Perfection, в формулировке "Положим P — вероятность того, что в определённый промежуток времени T происходит некоторое событие (например, горит лампа)..." можно сказать, например, что искомая вероятность 1 — (1-P)^t/T
  • @oxpa, не делает. у нас есть ещё интерва t у которого не сказано с какой частотой мы делаем проверки.
  • @mrtron, щас до этого дойдём. Очевидно, что интересует не этот вариант всё равно ;)
  • @oxpa, Кстати, существенный опущенный момент. Известно, что система меняет своё состояние конечное число раз за конечный интервал времени.
  • @Self-Perfection, С учётом этого, частота проверок не должна играть роли.
  • @Self-Perfection, "конечный интервал" либо дискретен, либо нет. Конечный интервал содержит беконечное количество точек =) Дай я чутка подумаю. У меня всегда были проблемы с этими вероятностями и были они хз когда))
  • @lurker, А обосновать?
  • @Self-Perfection, ну это, прикинь поведение. при t = T имеем P. при t -> infinity имеем 1. при t = 0 имеем 0. чё ещё ) хотя, конечно, может всё не так, и там какой-то дифур на самом деле, и в итоге будет какая-то экспонента ) я не претендую в общем.
  • @lurker, князь, дойдите до александры, если она ещё не ушла и спросите её.
  • @mrtron, Она была одним из тех двух с половиной человек.
  • @Self-Perfection, Так-так-так, а кто это без высшего? Или, точно! Кто-то халявил и не пытался сообразить!
  • @akshimassar, князь же отчисленец
  • @Self-Perfection, Применим индукцию. Какова вероятность застать лампу горящей проведя одно наблюдение? Горит P, не горит (1-P). Проведем два наблюдения. Возможные исходы: 11 (горит горит) P*P, 10 P*(1-P), 01 (1-P)P 00 (1-P)(1-P). Вероятность застать лампу горящей хотя бы один раз таким образом равна 1-(1-P)^2. Не сложно заметить проведя выкладки дальше что вероятность при N наблюдениях будет равна 1-(1-P)^N. Непрерывные наблюдения дадут 1-(1-P)^inf, то есть 1 при P>0. Таким образом мы приходим к тому что формулировка "вероятность в определенный момент" не имеет смысла, и вынуждены заменить её на "вероятность отнесенная к единице времени".
  • @mugiseyebrows, Потому как такая лампа не сможет гореть даже в течении любого даже минимального отрезка времени, а всёвремя будет гореть-негореть.
  • @mugiseyebrows, Хочу заметить, что у меня есть лампа, которая удовлетворяет условиям задачи и при этом горит в течение половины суток.
  • @akshimassar, То есть?
  • @Self-Perfection, Нет, пожалуй с "вероятность отнесенная к единице времени" это я фигню сморозил.
  • @akshimassar, Если лампочка в подъезде то нещитово потому что неслучайный процесс.
  • @mugiseyebrows, И тут мы уже, кажется, подходим к вопросу что же нам надо в качестве отправных данных...
    Лампочка — правильный пример, именно с задачи о лампочке всё и началось.
  • @akshimassar, Вот эта приписка "например горит лампа" вообще уродская и объяснить её происхождение можно только творческой или объяснительской импотенцией. Например говорят когда хотят дать пример который проясняет что-то, раскрывает суть, с тем же успехом можно было написать "например в хлебнице хлеб" или "например играет музыка". Если типа лампа которая горит, потом гаснет а потом снова горит, то очевидно нужно иметь статистики по интервалам горения негорения и от них будет зависить ответ, именна такая дополнительная информация нужна, а не одно число.
  • @mugiseyebrows, А вы не заметили, что в постановке задачи спрашивается какие еще данные нужны?
  • @mugiseyebrows, Как я уже заметил в каком-то другом комменте, вводится дополнительное условие: известно, что за любой конечный интервал времени лампа меняет своё состояние лишь конечное число раз.
  • @akshimassar, Заметил, вот и предполагаю какие нужны.
  • @Self-Perfection, всё равно необходимо знать сколько раз за данное время она сможет сменить состояние. если решение о том какое состояние будет лампы принимается раз в секунду, то за 5 минут вероятность будет одна, а если раз в 5 минут, то другая.
  • @mrtron, Да, похоже ты прав, причём зависимость прямая: при разрешённой частоте смене состояний, стремящейся к бесконечности, вероятность из ответа стремится к единице.
  • @Self-Perfection, Блять, да как можно решать задачу с изначально некорректными данными, да еще из объяснений автора можно только сделать вывод, что он даже сформулировать для себя эту задачу внятно не может?
  • @dlebedev, автору одним из первых комментариев сказали, что задача не корректно сформулирована. просто он упорно не верил.
  • @akshimassar, Со статистиками можно будет построить кумулятивную кривую (от меньших к большим) распределения интервалов горения и точки этой кривой и будут решением для каждого конкретного t. Если повезет с распределением можно заменить кривую модельной кривой распределения и выразить решение в види аналитической формулы. Да, нужно будет ещё ввести коэффициент который учитывает что средний интервал горения и средний интервал негорения может различаться (этот коэффициент будет растягивать кривую вдоль оси абсцисс). Я бы так сделал если бы пришлось практически решать задачу.
  • @akshimassar, Как вам, Холмс?
  • @dlebedev, Окей, вот описание исходной ситуации, которое, как показалось до написания жуйкопоста, сводится к тому, что описано /0.

    Есть N устройств. Каждое из-них долю P1 от всего времени получает поток с сервера. Сервер выдерживает k одновременных подключений. Сколько нужно серверов, если мы готовы мириться с тем, что с вероятностью P2 за время t эксплуатации системы на все ус-ва, пытающиеся получить поток, производительности хотя бы раз не хватит?

    Легко найти вероятность того, что в произвольный момент времени подключено >n устройств — это P из /0. Следующий напрашивающийся шаг — найти вероятность того, что это состояние будет получено хотя бы один раз за t. Потом подберём такое n, чтобы удовлитворить надеёжности P2 и из этого рассчитаем количество серверов. Получена формулировка из /0.

    Потерял ли я какие-то данные, необходимые для решения, при переформулировании? Что ещё нужно знать, чтобы решить описанную в этом комменте задачу?
  • @Self-Perfection, Подобные штуки редко считают из теории вероятности. Чаще — из теории массового обслуживания. Кроме того, в вашем случае, проще вывести зависимость "в числах", зная абонентскую базу и максимальное количество подключений в тот же период.
  • @oxpa, Абонентскую базу мы знаем, это N, а "максимальное количество подключений" взять неоткуда. Более того, если я тебя правильно понял, это МКП как раз то, что я тут спрашиваю как рассчитывать. Подобных сервисов ранее не эксплуатировалось, нет данных для экстраполяции.
  • @Self-Perfection, @akshimassar, Итак, не накладывая никаких ограницений на частоту смены состояний, мы получаем, что состояние, занимающее долю времени P, будет занимать Pt из любого интервала t.

    Так что при оценке надёжности нам нужно отталкиваться от максимальной допустимой доли времени эксплуатации, в которую на всех производительности не хватает.

    При этом всё понятно как считать.
  • @mugiseyebrows, я это ещё в /17 предложил, t/T вместо N