← All posts tagged math

Elemir
paper math physics конструктивисткизм ftp.qucis.queensu.ca
Забавный paper о физических основаниях тезиса Чёрча, из которого следует, что классическая механика неконструктивна, а релятивисткая механика при этом конструктивна и принимает расширенный тезис чёрча!
В конце автор замечает, что квантовая механика принимает тезис чёрча, но не принимает расширенный. У меня тут же возника логичный вопрос, — не решит ли полностью конструктивисткий квантмех автоматически проблемы совместности его с релятивизмом?
Elemir
math конструктивизм Вместе с тем одна из самых полных и новых книжек по realizability in category theory. Тут есть практически все важные модели и результаты в области описания рекурсивной математики категориально-порядковым языком. Порог вхождения, правда, высокий, — автор предполагает, что читатель неплохо разбирается как в теории категорий, так и в теории порядка.
staff.science.uu.nl
P.S. Если хочется сначала вникнуть в эту область, то рекомендую начать с монографии Oosten'а "Realizability — An introduction to its categorical side". Тут есть основы и превосходно освещается привычная для рекурсивной математики категория Eff (По сути категория марковского конструктивизма)
Elemir
quotes math matrix конструктивизм Computable and constructive mathematics is like the Matrix. Do you remember the film Matrix? Computable mathematics is the Matrix, a world built by intelligent computers to keep people from seeing the world as it really is. The realizers are the little green characters that keep falling down the screens. They seem infinitely more boring and less comprehensible than the Matrix. However, when Neo, the hero who saves humankind, reaches a higher level of awareness he sees the Matrix as it really is – made of little green characters. Intuitionistic logic and category theory are the Architect and the Oracle, but I am not telling which is which.
Andre Bauer (2005) "Realizability as the Connection between Computable and Constructive Mathematics", p. 33
Elemir
books math /r/ fp Уже много раз встречал намеки на связь типизированной лямбды и теорката, но чёткого ничего не видел. Можешь подскажите что-нибудь?
Elemir
quotes math школьники 16% выпускников хотят быть математиками (ха!), еще 8% (это другие люди) хотят пойти на мехмат (хахаха!). Разграничение «математика vs. мехмат» по отзывам очень правильное, потому что общего там ничего нет. Хотя и эти 16% вряд ли способны пойти дальше взятия производных по таблице. via heller
Elemir
programming math computer_science Придумал муторную, но красивую задачу на стыке computer science и математической логики. Широко известно (в узкий кругах, коз), что в рамках логики предикатов первого порядка отнюдь не все задачи вида «выяснить выводимо ли суждение A из суждения B» вычислимы. На данный момент существует сравнительно небольшой список базовых алгоритмов для решения частых случаев этой задачи (наиболее эффективные из них включены в состав дескрипционной логики).
Это всё навело меня на мысль — почему бы не переписать тех же бурбаков целиком не используя ни слова вне логики предикатов и не проверить на вычислимость известными алгоритмами каждый переход. В итоге получается красивая задача, довольно неопределённой сложности, давайте подумаем какие могут быть результаты (в порядке уменьшения вероятности их получения):
1. Получение новых примеров вычислимых переходов (скучновато, но очень полезно, расширить логический язык до того, что он сможет вывести всю математику до начала XX века (пусть и через призму середины оного), это не хухры мухры)
2. Ничего, то есть значит, что современная реализация DL сможет вывести всю математику к вышеуказанному периоду. Этот результат может дать стимул в развитии ИИ, например
3. Бурбаки пропустили важные аксиомы или допустили набор ошибок (несомненно что-то такое есть, но ошибки, если и есть, вряд ли будут критическими)
4. Нахождение перехода, верного, но про который можно доказать, что он не вычислим. Шокирующий факт, по сути доказывающий то, что полноценный ИИ на привычных нам машинах невозможен, он просто не сможет делать то же, что и люди
По-моему красивая штука и ей бы можно было заняться какому-нибудь прикладному математику. А может уже занимались, но я не знаю?
Elemir
Wikipedia math Почему на ua.wikipedia.org на порядок больше разумных статей о математике и computer science, чем на ru.wikipedia.org? Практически всё, что есть на англовикипе переведено, а у нас — хрен с маслом
Elemir
Россия ЕГЭ math education Только что мой школоло-брат поведал, что в $subj(1) по $subj(4) все числа(в том числе
рациональные) должны записываться в "десятичной" форме. Никаких вам 1/2 или /pi! Скоро мы докатимся до региональных
законов, что /pi равняется 4...
Elemir
math алгебра схоластика Я задумался над тем, что такое чисто алгебраический объект. Сначала в голову приходило что-то типа конструктивизма. Т.е выяснение того, что сохраняет свойства ЧАО. Например топологическое пополнение метрического пространства НЕ сохраняет такие свойства, а вот факторизация и свободные произведения сохраняют. Затем в голову пришла мысль о том, что так я себя завязываю на понятия алгебраической структуры, а как известно многие чисто алгебраические понятия никак туда не укладываются (потому что АС укладывается в ZFC, а вот категории — нет). Теперь думаю над тем, чтобы рассматривать ЧАО как объект некой категории, которая связана функтором, удовлетворяющим неким условиями, с неким стандартным объектом некой стандартной категории
Elemir
math Тут #1058607 прозвучал вопрос и на него не было ни одного алгебраического ответа. За родину обидно, так что я восполню этот недостаток. Во-первых очевидно, что если условие задачи верно для старшего коэффициента > 0, то неверно для старшего < 0. Так что НУО многочлен выглядит так g(x) = x^3 + a*x^2 + b*x + c. Разложим его в комплесных по основной теореме алгебры, т.е. g(x) = (x — d) (x — e) (x — f) Отсюда очевидно, что если все корни вещественные, а — d*e*f < 0 то хотя бы один корень положителен. Иначе d = u + wi, а e = u — w*i. То есть наш свободный коэффициент имеет вид — (u^2 + w^2)*f < 0, то есть f > 0
P.S. Задачка — а вы видете, где зарыт анализ?
Elemir
math education Думаю над правильным построением университетского математического образования. Особенно про такие предметы как мат.ан. и ФАН. Вот в СПбГУ до сих пор первый читают практически по Фихтенгольцу. Спрашивается зачем, если после семестра алгебры и топологии первый том можно уложить в четыре академических часа и всё будет в стиле. Применим эту теорему так-то и далее. К тому же немногие димпломанты 010101 знают как определять и довольно просто доказать через матрицы формулу Тейлора или то, как связаны разнообразные ФАН'овые обобщения функций с некоммутативной алгеброй. Многое передоказывается по 3-4 раза, причем в довольно серьёзных случаях. Обидно, честное слово, что я теряю на это время, в то время как комбинаторикой или теорией графов мы почти не занимались. Думаю, что с введением бакалавриата, можно было бы решить эту проблему, но кто этим займётся, право?
Elemir
math множества Удивлён, что в русских источниках практически не встречается такая замечательная модель теории множеств, как аксиоматика Гротендика-Тарского. Её примечательным свойством является то, что мы можем избавиться от проблемы больших категорий. Наглядно показывается, что в TG существует категория функтор любых двух категорий.
Определения TG:
— Синглтон — множество с одним элементом
— Пара — множество, в котором ровно два элемента
— Упорядоченная пара (a, b) = {{a, b}, a}
— Подмножество — множество, все элементы которого являются элементами данного множества
— Булеан — множество, содержащее все подмножества данного множества
— Объединение семейства Y — множество, содержащее все элементы каждого элемента Y
Аксиомы:
— Если A — множество, то существует синглтон, содержащий A
— Если A, B — множества, то существует пара, содержащая A и B
— Для любого семейства множеств существует его объединение
— Существует пустое множество — множество без элементов
— Множества равны, если у них все элементы равны
— Аксиома регулярности — не существует циклических отношений включения
— Схема преобразования — если есть множество A и предикат F, то существует подмножество A, огранниченное на предикат F
— Существует булеан
Это всё известно для человека, знакомого с ZFC. Вся сила TG состоит в аксиоме Тарского:
— Пусть есть множество X, тогда существует такое Y, что
* Само X
* Любое подмножество любого элемента Y
* Любой булеан любого элемента Y
* Каждое строгое подмножество Y кардинально меньше Y