to post messages and comments.

← All posts tagged math

когда успели придумать новое правило округления то ?

Consider the number 7.246, which has 4 sigdigs. We would like to express
it correctly with only 3 sigdigs. We need to eliminate the “6”. We round up
the “4” because the “6” is greater than 5, and the result is 7.25, correct to 3
sigdigs. But what if the number was 7.245? I was also taught to round up the
“4” when the next digit is “5” or greater. It turns out that this rule has been
modified recently because the old rule was introducing a bias into the results.

The new rounding rule requires that we look at digits beyond the “5” (if
any exist) as well as determine if the digit preceding the “5” is odd or even.
In this case, there are no digits beyond the “5” and the digit preceding it is
even. The new rule says to drop the ‘5’ and leave the “4” alone, producing
7.24 correct to 3 sigdigs; not 7.25 as you might have anticipated using the old
rule. If the number had been 7.235, the digit preceding the “5” is odd, so the
new rule requires that the “3” be incremented to a “4”. Same result, different
reason. Checking the parity compensates for the old rounding bias. In general,
for a terminating string of digits:
... X Y Z
we can express the new rounding rules in the following Algorithm.

Algorithm 3.2 (Rounding).
a. Examine Y
b. If Y < 5 then goto (i)
c. If Y > 5 then set X = X + 1 and goto (i)
d. If Y ≡ 5 then examine Z
e.	 If Z ≥ 1 then set Y = Y + 1 and goto (a)
f.	 If Z is blank or a string of zeros then
g.		 Examine the parity of X
h.		 If X is odd then set X = X + 1
i. Drop Y and all trailing digits

The old rule corresponds to steps (a–c) and (i), whereas the new procedure
introduces the parity checking steps (d–h).

Задачка такая: продолжить последовательность чисел 1,2,4,8,16...

Решение у нее немного нетривиальное, хотя в принципе ничего сложного нет. Я его дам под катом.


Понятно, что напрашивается предположение, что это значения какой-то не очень сложной функции, и если мы поймем, какой, то легко будет продолжить последовательность. Если мы обозначим эту функцию f, то можно предположить, что нам дали значения f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), и если мы по ним сможем понять, что такое f(x), то следующее число будет просто f(6).

Самые логичные кандидаты на f(x), благодаря своей простоте — несомненно, многочлены. Поскольку у нас есть пять значений, можно надеяться, что есть единственный многочлен степени 4, который отвечает нашим условиям. И действительно, с помощью простых методов линейной алгебры (опускаю эту часть), легко видеть, что это многочлен

f(x) = x4/24 — x3/4 + 23x2/24 — 3x/4 + 1

Легко проверить, что его значения для x=1,2,3,4,5 как раз равны 1,2,4,8,16. А если подставить x=6, получим f(x)=31. Очевидно, это и есть правильный ответ.


Итак, правильный ответ — 31. Конечно, в каком-то смысле правильного ответа нет, потому что есть бесконечно много разных функций, продолжающих эту последовательность по-разному. Но вполне вероятно, что все они сложнее, чем найденное нами простое и элементарное решение.

— Когда я трахаюсь с ними, я делю в уме 500 рублей на части, — рассказывает потом Лайла. — Это — отцу на передачку, это — маме, она в больнице сейчас, инсульт, это на дом, это на одежду. Брат маленький, сестра только на работу вышла — тоже на Рынок, но продавщицей, и сразу же замуж. Так за математикой время и проходит. Я ведь в одиночку семью содержу.