Andrew Bodrow (Drino)

*math *algebra *?
Подсажите что-нибудь почитать на тему представления действительных чисел как линейного пространства (или подобной структуры) над рациональными числами.

#1518116
from netbook53703CCE, 8 months ago

← All messages

Replies (15)

Post a reply (xmpp)

@balodja:
Просто как пополнение метрического пространства.
#1518116/1
from home, 8 months ago
@Drino:
@balodja Т.е. как дополнение всевозможными пределами? А что можно сказать про базис в подобном пространстве?
#1518116/2
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /1
@balodja:
@Drino Ну, про многомерные линейные пространства речь не идет же. Есть множество рациональных чисел — оно метрическое и не полное. Его можно пополнить, одним из возможных пополнений является множество действительных чисел.
#1518116/3
from home, 8 months ago, in reply to /2
@Drino:
@balodja Просто я пытаюсь придумать функцию, которая обладает свойством f(a+b) = f(a) + f(b), f:R→R. Первое, что приходит в голову — раскладывать все числа из R в каком-то базисе, содержащем единицу, после чего f(r) определять как сумму коэффициентов перед базисными векторами, кроме единицы.
#1518116/4
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /3
@Drino:
@Drino Косяк в том, что не факт, что такое разложение вообще возможно, а если и возможно, то как складывать континуум чисел (т.к. размерность базиса, очевидно, такая)? -_-
#1518116/5
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /4
@Drino:
@Drino А, да, естественно я рассматриваю R как бесконечномерное линейное пространство над Q (именно поэтому там есть базис).
#1518116/6
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /4
@balodja:
@Drino А, я тебя неправильно понял сначала. Помочь не могу. Я, конечно, представляю, что можно фундаментальные последовательности рациональных чисел рассматривать как вектора, но в литературе вроде нигде не встречал это. Во всяком случае не помню.
#1518116/7
from home, 8 months ago, in reply to /6
@Drino:
@balodja Понятно. Спасибо в любом случае!
P.S. Вообще я понял, что линейная алгебра очень непредназначена для работы с континуумом, т.е. суммировать нам всегда придётся счётное число чисел. А это мы умеем. Вопрос в существовании такого базиса.
#1518116/8
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /7
@balodja:
@Drino Ну обычно просто векторные пространства рассматриваются с скалярами в виде действительных чисел. А тут получается, что скалярами будут рациональные числа. Это не очень плохо, конечно, но много результатов из линейной алгебры не применимо.
#1518116/9
from home, 8 months ago, in reply to /8
@Drino:
@balodja Ну иногда векторные пространства рассматриваются и над полями вычетов, или над комплексными числами... Линейная алгебра при этом особо не страдает, кажется.
#1518116/10
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /9
@balodja:
@Drino Похоже, что я ксенофобствую :)
#1518116/11
from home, 8 months ago, in reply to /10
@Drino:
@balodja Ну, с комплексными числами, кстати, возникают спешл-костыли (например комплексное сопряжение матриц в некоторых местах). Алсо я пока что пришёл к выводу, что не-чистая функция, которая составляет базис на ходу — суровый изворот ^^
#1518116/12
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /11
@balodja:
@Drino Да-да, про сопряжение матриц помню. У Гантмахера читал про это дело.
#1518116/13
from home, 8 months ago, in reply to /12
@Drino:
@balodja Вот. А ещё возникает вопрос о том, можно ли выбирать континуумомерный базис, и стоит ли при этом работать к R как с сигма-алгеброй (т.е. использовать счётное суммирование) или как с простой алгеброй. Короче говоря вопросы, на которые я не могу придумать ответа, и даже не знаю, куда копать -_-
#1518116/14
from netbook53703CCE, 8 months ago, in reply to /13
@Nullstellensatz:
@Drino secure.wikimedia.org
#1518116/15
from web, 8 months ago, in reply to /4

Andrew Bodrow (Drino)

Subscribe

Replies (15)

Messages

Tags all

Search

Statistics